10469. Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD
с основаниями AD
и BC
, касается боковой стороны CD
в точке M
. В каком отношении прямая AM
делит площадь трапеции ABCD
, если известно, что AB=2BC
?
Ответ. 9:7
Решение. Пусть окружность касается оснований BC
и AD
в точках K
и L
соответственно. Положим BC=2t
, CD=AB=4t
, S_{ABCD}=s
. Тогда
CM=CK=\frac{1}{2}BC=t,~DL=DM=CD-CM=4t-t=3t,~AD=2DL=6t,
\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AD}{BC}=3,~S_{\triangle ACD}=\frac{3}{4}S_{ABCD}=\frac{3}{4}s.
Значит,
S_{\triangle AMD}=\frac{DM}{CD}S_{\triangle ACD}=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}s=\frac{9}{16}s,~S_{ABCM}=s-\frac{9}{16}s=\frac{7}{16}s.
Следовательно, \frac{S_{\triangle AMD}}{S_{ABCM}}=\frac{9}{7}
.