10481. Дана прямоугольная трапеция
ABCD
с прямым углом при вершине
A
. Окружность, построенная на большем основании
AD
как на диаметре, проходит через вершину
C
и пересекает меньшее основание
BC
в точке
M
.
а) Докажите, что
\angle BAM=\angle CAD
.
б) Диагонали трапеции пересекаются в точке
O
. Найдите площадь треугольника
AOB
, если
AB=6
, а
BC=4BM
.
Ответ.
20
.
Решение. а) Поскольку
AD
— диаметр окружности и
AD\perp AB
, то
AB
— касательная к окружности. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle BAM=\angle ADM
. Трапеция
AMCD
вписана в окружность, поэтому она равнобедренная, и её диагонали образуют равные углы с основаниями. Значит,
\angle ADM=\angle CAD
. Следовательно,
\angle BAM=\angle CAD
.
б) По теореме о касательной и секущей
AB^{2}=BM\cdot BC
, или
36=4BM^{2}
, откуда
BM=3
. Тогда
BC=4BM=12,~CD=AM=\sqrt{AB^{2}+BM^{2}}=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5},

AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{36+144}=6\sqrt{5}.

Точка
C
лежит на окружности с диаметром
AD
, поэтому
\angle ACD=90^{\circ}
. По теореме Пифагора
AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{180+45}=\sqrt{225}=15.

Значит,
\frac{BC}{AD}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}.

Следовательно,
S_{\triangle AOB}=\frac{BO}{BD}S_{\triangle ABD}=\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2}AD\cdot AB=\frac{2}{9}\cdot15\cdot6=20.



Примечание. Можно и так: найдём высоту
OH
треугольника
AOB
из подобия треугольников
AHO
и
ABC
, а затем площадь треугольника
AOB
.