10484. На сторонах выпуклого шестиугольника ABCDEF
во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABC_{1}
, BCD_{1}
, CDE_{1}
, DEF_{1}
, EFA_{1}
и FAB_{1}
. Оказалось, что треугольник B_{1}D_{1}F_{1}
— равносторонний. Докажите, что треугольник A_{1}C_{1}E_{1}
также равносторонний.
Решение. Первый способ. Рассмотрим случай, изображённый на рис. 1. Обозначим точку пересечения FF_{1}
и A_{1}D
через X
, а точку пересечения CC_{1}
и AD_{1}
— через Y
.
Лемма 1. Отрезки FF_{1}
и A_{1}D
равны и \angle A_{1}XF=60^{\circ}
.
Доказательство. Рассмотрим треугольники F_{1}EF
и DEA_{1}
. Они равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому FF_{1}=A_{1}D
. Обозначим \angle EA_{1}X=\angle EFX=\beta
. Тогда
\angle A_{1}XF=180^{\circ}-\angle XA_{1}F-\angle XFA_{1}=
=180^{\circ}-(\angle XA_{1}E+\angle EA_{1}F)-(\angle XFA_{1}+\angle EFX)=
=180^{\circ}-(60^{\circ}+\beta)-(60^{\circ}-\beta)=60^{\circ}.
Аналогично CC_{1}=AD_{1}
и \angle C_{1}YA=60^{\circ}
. Лемма доказана.
Перейдём к решению задачи. Рассмотрим треугольники B_{1}FA
и B_{1}F_{1}D_{1}
. Это два правильных треугольника с общей вершиной, поэтому углы FB_{1}A
и F_{1}B_{1}D_{1}
равны 60^{\circ}
. Вычтя у этих углов общую часть, получим равенство углов FB_{1}F_{1}
и AB_{1}D_{1}
. Треугольники FB_{1}F_{1}
и AB_{1}D_{1}
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому FF_{1}=AD_{1}
и \angle B_{1}FF{1}=\angle B_{1}AD_{1}
.
Лемма 2. Углы A_{1}DE_{1}
и C_{1}CE_{1}
равны.
Доказательство. Обозначим \angle B_{1}FF_{1}=\angle B_{1}AD_{1}=\alpha
. Тогда
\angle XFA=\angle F_{1}FA=\angle F_{1}FB_{1}-\angle AFB_{1}=\alpha-60^{\circ},
\angle FAY=360^{\circ}-\angle B_{1}AF-\angle B_{1}AD_{1}=300^{\circ}-\alpha,
откуда \angle XFA+\angle FAY=240^{\circ}
.
По лемме 1
\angle FXD=\angle AYC=120^{\circ},
поэтому, записав сумму углов шестиугольника AYCDXF
, получим, что сумма углов XDC
и DCY
равна 240^{\circ}
. Тогда
\angle E_{1}CC_{1}=360^{\circ}-\angle DCE_{1}-\angle DCY=300^{\circ}-(240^{\circ}-\angle XDC)=
=60^{\circ}+\angle XDC=\angle CDE_{1}+\angle XDC=\angle XDE_{1}=\angle A_{1}DE_{1}.
Лемма доказана.
Вернёмся к решению задачи. Воспользовавшись леммой 1, получим, что A_{1}D=FF_{1}=AD_{1}=CC_{1}
.
Рассмотрим треугольники A_{1}DE_{1}
и C_{1}CE_{1}
. Воспользовавшись предыдущим равенством и леммой 2, получим, что они равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому A_{1}E_{1}=E_{1}C_{1}
. Аналогично доказывается, что A_{1}E_{1}=A_{1}C_{1}
, откуда треугольник A_{1}C_{1}E_{1}
— равносторонний.
Замечание. Приведённое решение, вообще говоря, зависит от взаимного расположения точек. При другом расположении точек решение аналогично. Ниже написано решение, не зависящее от расположения точек.
Второй способ. Обозначим символом \angle(X_{1}Y_{1},X_{2}Y_{2})
угол, на который нужно повернуть отрезок X_{1}Y_{1}
против часовой стрелки так, чтобы он стал одного направления с отрезком X_{2}Y_{2}
. Если поворот осуществлялся по часовой стрелке, то значение надо брать со знаком минус. В частности, \angle(X_{1}Y_{1},X_{2}Y_{2})=-\angle(X_{2}Y_{2},X_{1}Y_{1})
. Рассмотрим треугольники B_{1}FA
и B_{1}F_{1}D_{1}
. По условию задачи они оба равносторонние, и поэтому при повороте вокруг точки B_{1}
на 60^{\circ}
против часовой стрелки вершина F
переходит в вершину A
, точка F_{1}
— в точку D_{1}
. Получается, что треугольник B_{1}FF_{1}
поворотом переводится в треугольник B_{1}AD_{1}
(рис. 2). Значит, отрезок FF_{1}
переходит в отрезок AD_{1}
, откуда следует, что FF_{1}=AD_{1}
и что \angle(FF_{1},AD_{1})=60^{\circ}
.
Теперь рассмотрим равносторонние треугольники EFA_{1}
и EF_{1}D
. При повороте вокруг точки E
на угол 60^{\circ}
против часовой стрелки вершина F
переходит в точку A_{1}
, а точка F_{1}
— в вершину D
. Получается, что треугольник EFF_{1}
переходит в EA_{1}D
, следовательно, отрезок FF_{1}
совмещается с отрезком A_{1}D
, тогда FF_{1}=A_{1}D
, \angle(FF_{1},A_{1}D)=60^{\circ}
.
Аналогично, рассматривая равносторонние треугольники BC_{1}A
и BCD_{1}
, получаем, что C_{1}C=AD_{1}
и \angle(C_{1}C,AD_{1})=60^{\circ}
. Сопоставляя сделанные выводы, записываем связь между отрезками C_{1}C
и AD_{1}
:
C_{1}C=AD_{1}=FF_{1}=A_{1}D,~
\angle(C_{1}C,A_{1}D)=\angle(C_{1}C,AD_{1})+\angle(AD_{1},FF_{1})+\angle(FF_{1},A_{1}D)=
=\angle(C_{1}C,AD_{1})-\angle(FF_{1},AD_{1})+\angle(FF_{1},A_{1}D)=60^{\circ}-60^{\circ}+60^{\circ}=60^{\circ}.
Рассмотрим поворот вокруг точки E_{1}
на угол 60^{\circ}
против часовой стрелки. Треугольник E_{1}CD
правильный, и поэтому точка C
перейдёт в точку D
. Заметим, что треугольник E_{1}CC_{1}
при таком повороте совместится с треугольником EDA_{1}
, так как отрезки CC_{1}
и DA_{1}
, как уже установлено, равны по длине и находятся под углом 60^{\circ}
друг к другу. Получили, что точка C_{1}
переходит в точку A_{1}
при повороте вокруг E_{1}
на угол 60^{\circ}
. Следовательно, треугольник E_{1}C_{1}A_{1}
— равносторонний. Что и требовалось доказать.