10489. Даны окружность S
, точки A
и B
на ней и точка C
хорды AB
. Для каждой окружности S'
, касающейся хорды AB
в точке C
и пересекающей окружность S
в точках P
и Q
, рассмотрим точку M
пересечения прямых AB
и PQ
. Докажите, что положение точки M
на зависит от выбора окружности S'
.
Решение. Рассмотрим случай, когда точка B
лежит между A
и M
. По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
MC^{2}=MP\cdot MQ=MA\cdot MB,
или
(MB+BC)^{2}=(MB+AB)\cdot MB,~
MB^{2}+2MB\cdot BC+BC^{2}=MB^{2}+AB\cdot MB,
откуда MB=\frac{BC^{2}}{AB-2BC}
. Следовательно, положение точки M
на зависит от выбора окружности S'
.