10496. Внутри параллелограмма ABCD
выбрана точка E
так, что AE=DE
и \angle ABE=90^{\circ}
. Точка M
— середина отрезка BC
. Найдите угол DME
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Обозначим через N
середину отрезка AD
. Поскольку треугольник AED
равнобедренный, его медиана EN
является высотой, т. е. EN\perp AD
. Значит, NE\perp BC
(рис. 1).
Поскольку AD\parallel BC
и BM=MC=AN=ND=\frac{1}{2}AD
, четырёхугольники ABMN
и BMDN
— параллелограммы, откуда AB\parallel MN
и BN\parallel DM
.
Поскольку \angle ABE=90^{\circ}
и AB\parallel MN
, получаем, что BE\perp MN
. Таким образом, E
— точка пересечения высот треугольника BMN
, поэтому ME\perp BN
. Наконец, из параллельности BN
и DM
получаем, что ME\perp DM
, т. е. \angle DME=90^{\circ}
.
Второй способ. На продолжении отрезка AB
за точку B
отметим точку F
так, что AB=BF
(рис. 2). Тогда BF=CD
и BF\parallel CD
, поэтому четырёхугольник BDCF
— параллелограмм. Точка M
— середина диагонали BC
этого параллелограмма, значит, M
— середина его диагонали DF
. Прямая BE
— серединный перпендикуляр к отрезку AF
, поэтому AE=FE
. Из условия теперь получаем, что DE=AE=FE
. Значит, точка E
лежит и на серединном перпендикуляре к отрезку DF
. Следовательно, \angle EMD=90^{\circ}
.