10506. Диагональ AC
разбивает выпуклый четырёхугольник ABCD
на два треугольника, вписанные окружности которых касаются диагонали AC
в одной точке. Докажите, что:
а) точки касания этих окружностей со сторонами четырёхугольника ABCD
лежат на одной окружности;
б) в четырёхугольник ABCD
можно вписать окружность;
в) вписанные окружности треугольников ABD
и BCD
касаются диагонали BD
также в одной точке.
Решение. Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается его сторон AB
, BC
и AC
в точках P
, Q
и M
, а вписанная окружность треугольника ADC
касается сторон CD
, AD
и AC
соответственно в точках R
, S
и M
. Тогда
AP=AM=AS,~CQ=CM=CR,~BP=BQ,~DR=DS,
поэтому треугольники PAS
, PBQ
, QCR
и RDS
равнобедренные.
Обозначим через \alpha
, \beta
, \gamma
и \delta
углы при их основаниях PS
, PQ
, QR
и RS
соответственно. Сумма углов этих треугольников равна 4\cdot180^{\circ}=720^{\circ}
, а сумма их углов при вершинах равна сумме углов четырёхугольника ABCD
, т. е. 360^{\circ}
, значит,
2\alpha+2\beta+2\gamma+2\delta=720^{\circ}-360^{\circ}=360^{\circ},
а
\alpha+\beta+\gamma+\delta=180^{\circ}.
Тогда
\angle SPQ+\angle SRQ=(180^{\circ}-\alpha-\beta)+(180^{\circ}-\gamma-\delta)=
=360^{\circ}-(\alpha+\beta+\gamma+\delta)=360^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник PQRS
вписанный.
Если вписанные окружности треугольников ABC
и SDC
касались бы диагонали AC
в точках M
и N
соответственно, то
AM=\frac{AB+AC-BC}{2}~\mbox{и}~AN=\frac{AC+AD-CD}{2}
(см. задачу 219). Точки M
и N
совпадают тогда и только тогда, когда AM=AN
, или
AB+AC-BC=AC+AD-CD,
что равносильно условию AB+CD=AD+BC
, а это, в свою очередь равносильно тому, что четырёхугольник ABCD
описанный.
Таким образом, из условия задачи (точки M
и N
совпадают) следует, что четырёхугольник описанный, а тогда вписанные окружности треугольников ABD
и BCD
касаются диагонали BD
в одной и той же точке.