10535. Окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно лежат одна вне другой. На этих окружностях взяты точки C_{1}
и C_{2}
, лежащие по одну сторону от прямой O_{1}O_{2}
. Луч O_{1}C_{1}
пересекает \omega_{2}
в точках A_{2}
и B_{2}
, а луч O_{2}C_{2}
пересекает \omega_{1}
в точках A_{1}
и B_{1}
. Докажите, что\angle A_{1}O_{1}B_{1}=\angle A_{2}O_{2}B_{2}
тогда и только тогда, когда C_{1}C_{2}\parallel O_{1}O_{2}
.
Решение. Пусть R_{1}
и R_{2}
— радиусы окружностей, M_{1}
и M_{2}
— середины отрезков A_{1}B_{1}
и A_{2}B_{2}
соответственно, H_{1}
и H_{2}
— проекции точек C_{1}
и C_{2}
на O_{1}O_{2}
. Очевидно, равенство углов \angle A_{1}O_{1}B_{1}=\angle A_{2}O_{2}B_{2}
равносильно равенству отношений \frac{O_{1}M_{1}}{R_{1}}=\frac{O_{2}M_{2}}{R_{2}}
. Но, так как треугольник O_{1}O_{2}M_{2}
подобен треугольнику O_{1}C_{1}H_{1}
, то
\frac{O_{2}M_{2}}{O_{1}O_{2}}=\frac{C_{1}H_{1}}{R_{1}}~\Rightarrow~O_{2}M_{2}=\frac{C_{1}H_{1}\cdot O_{1}O_{2}}{R_{1}}~\Rightarrow~\frac{O_{2}M_{2}}{R_{2}}=\frac{C_{1}H_{1}\cdot O_{1}O_{2}}{R_{1}R_{2}}
Аналогично \frac{O_{1}M_{1}}{R_{1}}=\frac{C_{2}H_{2}\cdot O_{1}O_{2}}{R_{1}R_{2}}
. Следовательно, равенство \frac{O_{1}M_{1}}{R_{1}}=\frac{O_{2}M_{2}}{R_{2}}
равносильно равенству C_{1}H_{1}=C_{2}H_{2}
, которое, в свою очередь, равносильно параллельности прямых C_{1}C_{2}
и O_{1}O_{2}
.