10537. Пусть M
— середина гипотенузы AB
прямоугольного треугольника ABC
. Окружность, проходящая через точки C
и M
, пересекает отрезки BC
и AC
в точках P
и Q
соответственно. Пусть c_{1}
, c_{2}
— окружности с центрами P
, Q
и радиусами BP
, AQ
соответственно. Докажите, что окружности c_{1}
, c_{2}
и описанная окружность треугольника ABC
проходят через одну точку.
Решение. Пусть N
— вторая точка пересечения описанной окружности треугольника MPQ
с прямой AB
. Тогда
\angle QNA=\angle QPM=\angle ACM=\angle CAM.
Следовательно, QA=QN
и точка N
лежит на окружности c_{2}
. Аналогично, точка N
лежит на окружности c_{1}
.
Пусть D
— вторая точка пересечения окружностей c_{1}
и c_{2}
, то
\angle ADB=\angle ADN+\angle NDB=\frac{1}{2}(\angle AQN+\angle NPB)=
=\frac{1}{2}(\angle CPN+\angle CQN)=90^{\circ},
т. е. точка D
лежит на описанной окружности треугольника ABC