1054. Сторона AD
прямоугольника ABCD
в три раза больше стороны AB
. Точки M
и N
делят AD
на три равные части. Найдите \angle AMB+\angle ANB+\angle ADB
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Указание. Постройте на большей стороне прямоугольника равный ему другой прямоугольник.
Решение. Первый способ. Предположим, что точка M
расположена между точками A
и N
. Рассмотрим прямоугольник BPQC
, равный прямоугольнику ABCD
и имеющий с ним единственную общую сторону BC
.
Пусть T
— точка на стороне PQ
такая, что PT=2TQ
. Тогда прямоугольные треугольники BNA
, TDQ
и BTP
равны по двум катетам. Поэтому
BT=TD,~\angle BTD=180^{\circ}-\angle BTP-\angle QTD=
=180^{\circ}-\angle BTP-(90^{\circ}-\angle QDT)=90^{\circ}.
Следовательно,
\angle BDT=45^{\circ}~\mbox{и}~\angle AMB+\angle ANB+\angle ADB=
=\angle BDT+\angle TDQ+\angle ADB=90^{\circ}.
Второй способ. Поскольку \angle AMB=45^{\circ}
, \tg\angle ANB=\frac{1}{2}
и \tg\angle ADB=\frac{1}{3}
, то
\tg(\angle ANB+\angle ADB)=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}}=1.
Следовательно,
\angle ANB+\angle ADB=45^{\circ},~\angle AMB+\angle ANB+\angle ADB=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}.
