10540. Дан описанный четырёхугольник ABCD
. Докажите, что точка пересечения диагоналей, центр вписанной окружности треугольника ABC
и центр вневписанной окружности треугольника CDA
, касающейся стороны AC
, лежат на одной прямой.
Решение. Заметим, что D
— точка пересечения общих внешних касательных вневписанной окружности \Omega
треугольника CDA
и окружности \Omega_{1}
, вписанной в четырёхугольник ABCD
, а B
— точка пересечения общих внешних касательных вписанной окружности \omega
треугольника ABC
и окружности \Omega_{1}
.
Применяя теорему о центрах трёх гомотетий (см. задачу 6434) к окружностям \Omega
, \Omega_{1}
и \omega
, получаем, что общие внешние касательные к окружностям \omega
и \Omega
пересекаются на прямой BD
, а поскольку AC
— одна из этих двух касательных, то пересекаются они как раз в точке пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
. Значит, эта точка лежит на линии центров окружностей \omega
и \Omega
. Что и требовалось доказать.