10566. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность. Прямые, касающиеся этой окружности в точках A
и C
, пересекаются на прямой BD
. Найдите AD
, если AB=2
и BC:CD=4:5
.
Ответ. \frac{5}{2}
.
Решение. Пусть указанные касательные пересекаются в точке M
, лежащей на прямой BD
. Поскольку CD\gt BC
, точка M
лежит на продолжении отрезка BD
за точку B
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle BAM=\angle ADB
, поэтому треугольник BAM
подобен треугольнику ADM
по двум углам (угол при вершине M
— общий). Значит, \frac{AM}{DM}=\frac{AB}{AD}
. Аналогично, из подобия треугольников BCM
и CDM
получаем, что \frac{CM}{DM}=\frac{BC}{CD}
. При этом AM=CM
, поэтому \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}
, откуда
AD=\frac{AB\cdot CD}{BC}=AB\cdot\frac{CD}{BC}=2\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{2}.