10568. В треугольнике ABC
площадью 20 проведена медиана CD
. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности, если AC=\sqrt{41}
и центр окружности, вписанной в треугольник ACD
, лежит на окружности, описанной около треугольника BCD
.
Ответ. \frac{41}{10}
или \frac{41}{8}
.
Решение. Пусть Q
— центр вписанной окружности треугольника ACD
. Тогда CQ
и AQ
— биссектрисы углов ACD
и CAD
соответственно. Вписанные углы DBQ
и DCQ
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle DBQ=\angle DCQ=\angle ACQ.
Значит, треугольники ABQ
и ACQ
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому AB=AC
, т. е. треугольник ABC
равнобедренный.
Пусть BC=2x
, а AH
— высота треугольника ABC
. Тогда
AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{41-x^{2}},~
20=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=x\sqrt{41-x^{2}}.
Из уравнения x\sqrt{41-x^{2}}=20
находим, что x=4
или x=5
.
Пусть R
— искомый радиус описанной окружности треугольника ABC
, x=4
(этот случай соответствует острому углу BQC
). Тогда (см. задачу 4259)
R=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4S_{\triangle ABC}}=\frac{\sqrt{41}\cdot\sqrt{41}\cdot8}{4\cdot20}=\frac{41}{10}.
Если x=5
(этот случай соответствует тупому углу BQC
), аналогично получим, что R=\frac{41}{8}
.