10569. В треугольнике ABC
, радиус описанной окружности которого равен 2,9, проведена медиана AM
. Найдите площадь треугольника ABC
, если известно, что AB=4
, а центр окружности, вписанной в треугольник ACM
, лежит на окружности, описанной около треугольника ABM
.
Ответ. 10
или \frac{8}{5}
.
Решение. Пусть Q
— центр вписанной окружности треугольника ACM
. Тогда AQ
и CQ
— биссектрисы углов CAM
и ACB
соответственно. Вписанные углы CBQ
и MAQ
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CBQ=\angle MAQ=\angle CAQ.
Значит, треугольники CBQ
и CAQ
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому BC=AC
, т. е. треугольник ABC
равнобедренный.
Пусть R=2{,}9
— радиус описанной окружности треугольника ABC
, CH=h
— высота этого треугольника, а \angle ACB=\gamma
. Тогда (см. задачу 23)
\sin\gamma=\frac{AB}{2R}=\frac{4}{5{,}8}=\frac{20}{29},~|\cos\gamma|=\sqrt{1-\frac{20^{2}}{29^{2}}}=\frac{21}{29}.
Из прямоугольного треугольника BCH
получаем, что h=2\ctg\frac{\gamma}{2}
.
Пусть ACB
— острый угол. Тогда
\ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{1+\cos\gamma}{\sin\gamma}=\frac{1+\frac{21}{29}}{\frac{20}{29}}=\frac{50}{20}=\frac{5}{2}.
Следовательно,
h=2\ctg\frac{\gamma}{2}=5,~S_{\triangle ABC}=2\cdot5=10.
Пусть ACB
— тупой угол. Тогда аналогично находим, что
\ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{1+\cos\gamma}{\sin\gamma}=\frac{1-\frac{21}{29}}{\frac{20}{29}}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5},~
Следовательно,
h=2\ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{4}{5},~S_{\triangle ABC}=2\cdot\frac{4}{5}=\frac{8}{5}.