10578. На стороне BC
треугольника ABC
выбрана такая точка K
, что угол CAK
составляет половину угла ABC
и точка пересечения O
отрезка AK
с биссектрисой BL
угла ABC
делит этот отрезок на две равные части. Докажите, что AO\cdot LC=BC\cdot OL
.
Решение. Медиана BO
треугольника ABK
является его биссектрисой, поэтому треугольник ABK
равнобедренный, а BO
— его высота. Значит, BL\perp BK
.
Обозначим
\angle CAK=\angle CBL=\angle ABL=\alpha.
Тогда
\angle ALB=90^{\circ}-\alpha,~
\angle BAL=180^{\circ}-\angle ABL-\angle ALB=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ},
т. е. треугольник ABC
прямоугольный.
Прямоугольные треугольники AOL
и BAL
подобны по двум углам, поэтому \frac{AB}{AL}=\frac{AO}{OL}
, а так как BL
— биссектриса треугольника ABC
, то \frac{AB}{AL}=\frac{BC}{LC}
(см. задачу 1509). Значит,
\frac{AO}{OL}=\frac{AB}{AL}=\frac{BC}{LC}.
Следовательно, AO\cdot LC=BC\cdot OL
.