10586. В трапеции ABCD
диагонали перпендикулярны. На большем основании AD
отмечена такая точка M
, что BM=MD=3
. Найдите среднюю линию трапеции.
Ответ. 3.
Решение. Через вершину B
проведём прямую, параллельную диагонали AC
. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания AD
в точке P
. Тогда треугольник DBP
прямоугольный с прямым углом при вершине B
.
Точка M
равноудалена от концов отрезка BD
, значит, она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку, т. е. на средней линии прямоугольного треугольника DBP
, параллельной катету BP
. Тогда M
— середина гипотенузы DP
, а BM
— медиана этого треугольника, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно, DP=2BM=6
(см. задачу 1109).
Пусть EF
— средняя линия трапеции ABCD
. Тогда
EF=\frac{1}{2}(AD+BC)=\frac{1}{2}(AD+AP)=\frac{1}{2}DP=\frac{1}{2}\cdot6=3.