10592. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и медиане, проведённой к одному из катетов.
Решение. Предположим, треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
построен, AB=c
— его данная гипотенуза, AM=m
— данная медиана.
Проведём медиану CO
. Пусть K
— точка пересечения AM
и CO
. Тогда
AO=CO=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}c,~KO=\frac{1}{3}CO=\frac{1}{6}c,~AK=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}m.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим треугольник AOK
по трём сторонам. На луче OK
откладываем отрезок OC=\frac{c}{2}
, а на луче AO
— отрезок AB=c
.
Докажем, что ABC
— искомый треугольник. Действительно, \angle ACB=90^{\circ}
, так как его медиана CO
равна половине стороны AB=c
. Луч AK
проходит через точку K
, лежащую на медиане CO
и делящую эту медиану в отношении CK:KO=2:1
, поэтому точка пересечения этого луча с катетом BC
— середина BC
, т. е. AM
— медиана треугольника ABC
. Кроме того, K
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, поэтому
AM=\frac{3}{2}AK=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}m=m.
Что и требовалось доказать.
Задача имеет решение, причём единственное, если c\lt2m\lt2c
, т. е. при m\lt c\lt2m
.