10593. Докажите, что если площади прямоугольных треугольников относятся как квадраты гипотенуз, то треугольники подобны.
Решение. Пусть площади прямоугольных треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
с прямыми углами при вершинах C
и C_{1}
относятся как \frac{AB^{2}}{A_{1}B_{1}^{2}}
, CH
и C_{1}H_{1}
— высоты этих треугольников. Тогда
\frac{AB^{2}}{A_{1}B_{1}^{2}}=\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot CH}{\frac{1}{2}A_{1}B_{1}\cdot C_{1}H_{1}}=\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\cdot\frac{CH}{C_{1}H_{1}},
откуда \frac{CH}{C_{1}H_{1}}=\frac{AB}{A_{1}B_{1}}
.
Пусть CM
и CM_{1}
— медианы этих треугольников. Тогда CM=\frac{1}{2}AB
и C_{1}M_{1}=\frac{1}{2}A_{1}B_{1}
(см. задачу 1109), поэтому прямоугольные треугольники CMH
и C_{1}M_{1}H_{1}
подобны. Значит, либо
\angle ABC=\frac{1}{2}\angle HMC=\frac{1}{2}\angle H_{1}M_{1}C_{1}=\angle A_{1}B_{1}C_{1}
(рис. 1), либо \angle ABC=\angle B_{1}A_{1}C
(рис. 2). Следовательно, подобны либо треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
, либо треугольники ABC
и B_{1}A_{1}C
.