10594. В четырёхугольнике середины противоположных сторон соединены отрезками. Эти отрезки разбивают четырёхугольник на четыре части. Докажите, что суммы площадей противоположных частей равны.
Решение. Пусть K
, L
, M
и N
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
и AD
четырёхугольника ABCD
площади S
. Поскольку прямые KM
и LN
разбивают его на четыре части, этот четырёхугольник выпуклый.
Четырёхугольник KLMN
— параллелограмм (см. задачу 1204), а его площадь равна \frac{1}{2}S
(см. задачу 3019). Пусть отрезки KM
и LN
пересекаются в точке O
. Они разбивают параллелограмм на четыре равновеликих треугольника. Площадь каждого из них равна \frac{1}{8}S
. Кроме того, KL
и MN
— средние линии треугольников ABC
и ADC
, поэтому
S_{\triangle KBL}+S_{\triangle MDN}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}+\frac{1}{4}S_{\triangle ADC}=\frac{1}{4}(S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC})=\frac{1}{4}S_{ABCD}=\frac{1}{4}S.
Значит,
S_{OKBL}+S_{OMDN}=\frac{1}{8}S+\frac{1}{8}S+\frac{1}{4}S=\frac{1}{2}S.
Следовательно, сумма оставшихся двух частей также равна \frac{1}{2}S
.