10595. Дан треугольник ABC
. Его вписанная окружность с центром I
и радиусом r
касается сторон BC
, CA
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно. Точки I_{a}
, I_{b}
и I_{c}
— центры вневписанных окружностей радиусов r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
, касающихся сторон BC
, CA
и AB
соответственно. Докажите, что:
а) прямые AD
, BE
и CF
пересекаются в некоторой точке S
;
б) расстояния d_{a}
, d_{b}
и d_{c}
от точки S
до прямых, содержащих стороны соответственно BC
, CA
и AB
, удовлетворяют условию d_{a}:d_{b}:d_{c}=r_{a}:r_{b}:r_{c}
.
Решение. а) Точки A
, I
и I_{a}
лежит на биссектрисе угла CAB
, а треугольник EAF
равнобедренный, поэтому I_{a}A\perp EF
(см. задачу 1180). С другой стороны, I_{a}A\perp EF
, как высота треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 4769). Значит, EF\parallel I_{b}I_{c}
. Аналогично, DF\parallel I_{a}I_{c}
и DE\parallel I_{a}I_{b}
.
Стороны треугольника DEF
соответственно параллельны сторонам треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
, поэтому существует гомотетия с некоторым центром S
и коэффициентом k
, при которой треугольник DEF
переходит в треугольник I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 5000). При этом точка D
переходит в I_{a}
, поэтому прямая I_{a}D
, а значит, и прямая AD
, проходит через точку центр S
гомотетии. Аналогично, прямые BE
и CF
тоже проходят через точку S
. Отсюда следует утверждение пункта а).
б) Пусть P
и Q
проекции на прямую BC
точек I
и I_{a}
соответственно. Из подобия прямоугольных треугольников IPD
и I_{a}QD
получаем, что
\frac{d_{a}}{r_{a}}=\frac{SD}{SA}=k.
Аналогично, \frac{d_{b}}{r_{b}}=k
и \frac{d_{c}}{r_{c}}=k
. Следовательно,
d_{a}:d_{b}:d_{c}=r_{a}:r_{b}:r_{c}.
Что и требовалось доказать.