10598. Внутри прямоугольного треугольника ABC
(угол A
прямой) дана точка O
, служащая вершиной равновеликих треугольников OAB
, OBC
и OAC
. Докажите, что
OB^{2}+OC^{2}=5OA^{2}.
Решение. Пусть D
и E
— проекции точки O
на катеты AB
и AC
соответственно. Обозначим AB=c
, AC=b
, BC=a
, OE=x
, OD=y
. Поскольку треугольники OAB
, OBC
и OAC
равновелики, площадь каждого из них в три раза меньше площади треугольника ABC
, т. е.
\frac{1}{2}bx=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}bc,~\frac{1}{2}cy=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}bc,
откуда x=\frac{1}{3}c
и y=\frac{1}{3}b
.
По теореме Пифагора
OA^{2}=x^{2}+y^{2}=\frac{1}{9}c^{2}+\frac{1}{9}b^{2}=\frac{1}{9}(c^{2}+b^{2})=\frac{1}{9}a^{2},
OB^{2}=OD^{2}+BD^{2}=y^{2}+(c-x)^{2}=\frac{1}{9}b^{2}+(c-\frac{1}{3}c)^{2}=\frac{1}{9}(b^{2}+4c^{2}).
Аналогично OC^{2}=\frac{1}{9}(c^{2}+4b^{2})
. Следовательно,
OB^{2}+OC^{2}=\frac{1}{9}(b^{2}+4c^{2})+\frac{1}{9}(c^{2}+b^{2})=\frac{5}{9}(b^{2}+c^{2})=\frac{5}{9}a^{2}=5OA^{2}.