10602. Точка D
лежит на стороне AB
треугольника ABC
. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается стороны AB
в точке L
. Точки I_{1}
и I_{2}
— центры окружностей, вписанных в треугольники ADC
и BDC
соответственно. Докажите, что:
а) точки D
, I_{1}
, I_{2}
и L
лежат на одной окружности;
б) если CD
— высота треугольника ABC
, а F
— точка пересечения этой окружности с CD
, то LI_{1}FI_{2}
— квадрат.
Решение. а) Пусть M
и K
— точки касания вписанных окружностей треугольников соответственно ACD
и BCD
со стороной AB
. Докажем, что DK=ML
. Действительно (см. задачу 219),
DK=\frac{BD+CD-BC}{2},~
ML=AL-AM=\frac{AB+AC-BC}{2}-\frac{AD+AC-CD}{2}=
=\frac{AB+AC-BC-AD-AC+CD}{2}=\frac{AB-BC+CD-AD}{2}=
=\frac{(AD+BD)-BC+CD-AD}{2}=\frac{BD+CD-BC}{2}=DK.
Что и требовалось доказать.
Четырёхугольник MI_{1}I_{2}K
— прямоугольник или прямоугольная трапеция с основаниями I_{1}M
и I_{2}K
, так как I_{1}M\perp MK
и I_{2}K\perp MK
. Пусть Q
— середина отрезка I_{1}I_{2}
. Тогда точка Q
равноудалена от концов отрезка MK
, так как она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Но по доказанному ML=DK
, значит, точка Q
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DL
, поэтому QL=QD
.
Треугольник I_{1}DI_{2}
прямоугольный, так как \angle I_{1}DI_{2}=90^{\circ}
как угол между биссектрисами смежных углов. Тогда QD
— радиус описанной окружности треугольника I_{1}DI_{2}
, а так как QL=QD
, то точка L
также лежит на этой окружности. Отсюда следует утверждение задачи.
б) Отрезок I_{1}I_{2}
— диаметр окружности, проходящей через точки D
, I_{1}
, I_{2}
и L
, поэтому \angle I_{1}LI_{2}=90^{\circ}
. Тогда острые углы при вершинах соответственно I_{1}
и L
прямоугольных треугольников I_{1}ML
и LKI_{2}
равны. Луч DI_{2}
— биссектриса прямого угла CDK
, поэтому \angle KDI_{2}=45^{\circ}
, и DK=I_{2}K
. По доказанному ML=DK
, поэтому ML=I_{2}K
. Значит, треугольники I_{1}ML
и LKI_{2}
равны по катету и противолежащему острому углу. Тогда LI_{1}=LI_{2}
, т. е. треугольник I_{1}LI_{2}
прямоугольный и равнобедренный. Поскольку \angle LDF=90^{\circ}
, отрезок LF
— диаметр, значит, LI_{1}FI_{2}
— прямоугольник, а так как LI_{1}=LI_{2}
— это квадрат.
Примечание. См. статью А.Д.Блинкова и Ю.А.Блинкова «Две окружности в треугольнике, три окружности в треугольнике...», Квант, 2012, N2, с.45-49.