10616. На сторонах AB
и AD
квадрата ABCD
взяты точки M
и K
соответственно, а на отрезке MD
— точка P
, причём AM=AK
и \angle PCD=\angle PKA
. Докажите, что угол APM
прямой.
Решение. Поскольку
\angle PKD=180^{\circ}-\angle PKA=180^{\circ}-\angle PCD,
четырёхугольник CPKD
вписанный, а так как \angle CDK=90^{\circ}
, то CK
— диаметр его описанной окружности \omega
.
Пусть L
— точка пересечения окружности \omega
со стороной BC
квадрата ABCD
. Центр O
окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде CD
, значит, хорды CL
и DK
равноудалены от точки O
, а следовательно, они равны. Тогда
BL=BC-CL=AD-DK=AK,
значит, прямоугольные треугольники ABL
и DAM
равны по двум катетам.
Пусть отрезки AL
и DM
пересекаются в точке P'
. Обозначим \angle ALB=\alpha
. Тогда
\angle BAL=90^{\circ}-\alpha,~\angle AMD=\alpha,
значит,
\angle AP'M=180^{\circ}-\angle AMP'-\angle MAP'=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ},
т. е. LP'\perp DM
.
С другой стороны, отрезок DL
— диаметр окружности \omega
, поэтому \angle LPD=90^{\circ}
, т. е. LP\perp DM
. Значит, точки P'
и P
совпадают. Следовательно,
\angle APM=\angle LPM=90^{\circ}.