10626. На прямой, проходящей через вершину острого угла C
прямоугольного треугольника ABC
перпендикулярно гипотенузе AC
, отложен отрезок CP
, равный катету BC
. Докажите что прямая BP
либо параллельна, либо перпендикулярна биссектрисе острого угла при вершине A
.
Решение. Пусть K
— точка пересечения биссектрисы угла BAC
с прямой CP
. Обозначим \angle BAC=\alpha
.
Пусть точки B
и P
лежат по одну сторону от прямой AC
(рис. 1). Тогда \angle BCP=\alpha
. Из равнобедренного треугольника BCP
и прямоугольного треугольника ABK
получаем, что
\angle CBP=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=\angle AKB.
Следовательно, BP\parallel AK
.
Пусть точки B
и P
лежат по равные стороны от прямой AC
, а M
— точка пересечения AK
и PM
(рис. 2). Тогда
\angle ACB=90^{\circ}-\alpha,~\angle BCP=(90^{\circ}-\alpha)+90^{\circ}=180^{\circ}-\alpha.
Из равнобедренного треугольника BCP
получаем, что
\angle CBP=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BCP=90^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=\frac{\alpha}{2}.
Значит,
\angle BMK=180^{\circ}-\angle CBP-\angle AKB=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=90^{\circ}.
Следовательно, BP\perp AK
.