1063. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит противолежащую сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен его основанию. Докажите, что эта биссектриса также равна основанию треугольника.
Указание. Через основание биссектрисы проведите прямую, параллельную основанию треугольника.
Решение. Пусть BK
— биссектриса угла B
при основании BC
равнобедренного треугольника ABC
(точка K
на боковой стороне AC
).
Через точку K
проведём прямую, параллельную основанию BC
. Пусть M
— точка пересечения этой прямой с боковой стороной AB
. Тогда \angle MKB=\angle CBK=\angle MBK
. Поэтому треугольник BMK
— равнобедренный. Следовательно, KC=BM=MK
, а так как \angle AKM=\angle ACB
и AK=BC
, то треугольники CBK
и KAM
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, треугольник KBC
равнобедренный, т. е. BK=BC
.