10636. Точки D
и E
лежат на сторонах соответственно AB
и BC
треугольника ABC
, Найдите отношение CF:FD
, если:
а) BD:DA=1:2
и CE:EB=1:4
;
б) BD:DA=m:n
и CE:EB=r:s
.
Ответ. а) 3:8
; б) \frac{r}{s}\cdot\frac{m+n}{n}
.
Решение. б)
Первый способ. Через через вершину C
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть эта прямая пересекается с прямой AE
в точке T
. Треугольник CET
подобен треугольнику BEA
с коэффициентом \frac{CE}{EB}=\frac{r}{s}
, поэтому CT=\frac{r}{s}AB
. Треугольник CFT
подобен треугольнику DFA
, поэтому
\frac{CF}{FD}=\frac{CT}{AD}=\frac{\frac{r}{s}AB}{\frac{n}{m+n}AB}=\frac{r}{s}\cdot\frac{m+n}{n}.
Второй способ. Пусть прямая, проведённая через точку D
параллельно BC
, пересекает отрезок AE
в точке G
. Треугольник DAG
подобен треугольнику BAE
с коэффициентом \frac{AD}{AB}=\frac{n}{m+n}
, поэтому
DG=\frac{n}{m+n}BE=\frac{n}{m+n}\cdot\frac{s}{r+s}.
Треугольник CFE
подобен треугольнику DFG
, поэтому
\frac{CF}{FD}=\frac{CE}{DG}=\frac{\frac{r}{r+s}}{\frac{n}{m+n}\cdot\frac{s}{r+s}}=\frac{r}{s}\cdot\frac{m+n}{n}.
В частности, если m=1
, n=2
, r=1
, s=4
, то
\frac{CF}{FD}=\frac{r}{s}\cdot\frac{m+n}{n}=\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{8}.