10637. Точка O
— середина медианы BE
треугольника ABC
. Лучи AO
и CO
пересекают стороны соответственно BC
и AB
в точках D
и F
. Известно, что CO=15
, OF=5
и AO=12
. Найдите OD
.
Ответ. 4.
Решение. Первый способ. Через вершину A
проведём прямую, параллельную BC
. Пусть эта прямая пересекается с продолжением медианы BE
в точке K
. Из равенства треугольников AEK
и CEB
получаем, что AK=BC
и EK=BE=2BO
. Тогда
OK=OE+EK=\frac{1}{2}BE+BE=\frac{3}{2}BE.
Треугольник BOD
подобен треугольнику KOA
с коэффициентом
\frac{BO}{OK}=\frac{\frac{1}{2}BE}{\frac{3}{2}BE}=\frac{1}{3}.
Следовательно,
OD=\frac{1}{3}AO=\frac{1}{3}\cdot12=4.
Второй способ. Через точку E
проведём прямую, параллельную AD
. Пусть эта прямая пересекает CF
и BC
в точках G
и H
соответственно. Тогда OD
и EH
— средние линии треугольников HBE
и CDA
, поэтому
OD=\frac{1}{2}EH=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AD=\frac{1}{4}(AO+OD)=\frac{1}{4}\cdot(12+OD).
Из равенства OD=\frac{1}{4}(12+OD)
находим, что OD=4
.
Примечание. 1) Заметим, что CO=15
, OF=5
— лишнее условие.
2) Для любой точки O
, лежащей на медиане BE
, отрезок DF
параллелен стороне AC
. Значит, из подобия треугольников DOF
и AOC
получаем, что OD=OA\cdot\frac{OF}{OC}
.