10642. Окружности равных радиусов с центрами O
и O'
пересекаются в точках M
и N
. С началом в произвольной точке P
общей хорды MN
перпендикулярно MN
проведён луч, пересекающий первую и вторую окружности в точках A
и B
соответственно. Докажите, что AB\parallel OO'
и AB=OO'
.
Решение. Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде (см. задачу 1130), значит, AB\parallel OO'
.
Пусть C
и D
— проекции точек соответственно A
и B
на прямую OO'
. Поскольку AB\parallel OO'
, отрезки AC
и BD
равны. Кроме того, равны радиусы OA
и O'B
окружностей. Значит, прямоугольные треугольники AOC
и BO'D
равны по катету и гипотенузе. Тогда \angle AOO'=\angle BO'D
, поэтому OA\parallel O'B
, и ABO'O
— параллелограмм (его противоположные стороны OA
и O'B
равны и параллельны). Следовательно, AB=OO'
.