1067. Каждая сторона квадрата ABCD
разделена на три равные части и соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены отрезками (см.рис.). Докажите, что \angle AKM=\angle CDN
.
Указание. Рассмотрите вспомогательные равные треугольники.
Решение. Первый способ. Из равенства прямоугольных треугольников MLK
и DQP
(рис. 1) следует, что \angle KML=\angle PDQ
, а так как \angle KML
— внешний угол треугольника AKM
, то
\angle AKM=\angle KML-45^{\circ}.
Поэтому осталось доказать, что \angle PDN=45^{\circ}
.
Действительно, из равенства прямоугольных треугольников DFP
и NEP
следует, что DP=PN
и \angle DPN=90^{\circ}
. Следовательно,
\angle CDN=\angle QDP-\angle NDP=\angle QDP-45^{\circ}=\angle KML-45^{\circ}=\angle AKM.
Второй способ. Треугольник AKM
равен треугольнику NMS
(рис. 2), а треугольник CDN
— треугольнику NGS
. Поэтому \angle AKM=\angle NMS
и \angle CDN=\angle NGS
.
Заметим, что точки M
, L
, S
, N
, H
, Q
, G
и F
равноудалены от центра квадрата ABCD
, значит, они лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы NMS
и NGS
опираются на одну и ту же дугу, следовательно,
\angle AKM=\angle NMS=\angle NGS=\angle CDN.
Что и требовалось доказать.
