10671. Пусть K
, M
и N
— произвольные точки на окружности S
, p
— серединный перпендикуляр к отрезку MN
, а прямые KM
и KN
пересекают прямую p
в точках A
и B
. Докажите, что точки A
и B
переходят друг в друга при инверсии относительно окружности S
.
Решение. Пусть O
— центр окружности S
, R
— её радиус. Нужно доказать, что OB\cdot OA=R^{2}
.
Пусть прямая p
пересекает в точке L
дугу MN
, не содержащую точку K
. Тогда L
— середина этой дуги, поэтому
\angle MOL=\angle NOL=\frac{1}{2}\angle MON=\angle MKN.
Тогда
\angle OAM=\angle BAK=\angle MKN-\angle ABK=\angle NOL-\angle NBO=\angle BNO,
\angle AOM=180^{\circ}-\angle MOL=180^{\circ}-\angle NOL=\angle BON.
Значит, треугольники OAM
и ONB
подобны по двум углам. Тогда
\frac{OM}{OB}=\frac{OA}{ON},~\mbox{или}~OB\cdot OA=ON\cdot OM=R\cdot R=R^{2}.
Что и требовалось доказать.