10673. Углы при вершинах A
и B
треугольника ABC
равны 30^{\circ}
и 80^{\circ}
соответственно. Точка K
расположена внутри треугольника ABC
, причём треугольник BKC
равносторонний. Найдите угол KAB
.
Ответ. 20^{\circ}
.
Решение. Заметим, что точки A
и K
лежат по одну сторону от прямой BC
и при этом KB=KC
и \angle BKC=60^{\circ}=2\angle BAC
. Значит, точка A
лежит на окружности с центром K
и радиусом KB=KC
(см. задачу 2900). Тогда KA=KC=KB
, т. е. треугольник KAB
равнобедренный. Следовательно,
\angle KAB=\angle KBA=\angle ABC-\angle KBC=80^{\circ}-60^{\circ}=20^{\circ}.