10677. Углы при вершинах A
и C
треугольника ABC
равны 50^{\circ}
и 70^{\circ}
соответственно. На сторонах AB
и BC
отметили точки соответственно D
и F
так, что \angle DCA=\angle FAC=30^{\circ}
. Найдите угол CDF
.
Ответ. 40^{\circ}
.
Решение. Пусть отрезки AF
и CD
пересекаются в точке O
. Угол при вершине равнобедренного треугольника AOC
равен 120^{\circ}
, а так как
\angle ABC=180^{\circ}-50^{\circ}-70^{\circ}=60^{\circ},
то из точек O
и B
, лежащих по одну сторону от прямой AC
, отрезок AC
виден под углами, первый из которых вдвое больше второго, а OA=OC
. Значит, точка B
лежит на окружности с центром O
и радиусом OA=OC
(см. задачу 2900). тогда OB=OC
, а
\angle OBF=\angle OBC=\angle OCB=\angle ACB-\angle ACO=70^{\circ}-30^{\circ}=40^{\circ}.
Поскольку
\angle DBF+\angle DOF=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ},
около четырёхугольника BDOF
можно описать окружность. Вписанные в эту окружность углы ODF
и OBF
опираются на одну и ту же дугу. Следовательно,
\angle CDF=\angle ODF=\angle OBF=40^{\circ}.