10680. Внутри треугольника ABC
отмечена точка P
. Биссектрисы углов BAC
и ACP
пересекаются в точке M
, а биссектриса угла PBA
и прямая, содержащая биссектрису угла BPC
пересекаются в точке N
. Докажите, что точка пересечения прямых CP
и AB
лежит на прямой MN
.
Решение. Пусть прямые CP
и AB
пересекаются в точке K
. Тогда M
— точка пересечения биссектрис треугольника AKC
, следовательно, KM
— биссектриса угла AKC
.
Рассмотрим теперь треугольник KBP
. N
— точка пересечения биссектрисы внутреннего угла при вершине B
и биссектрисы внешнего угла при вершине P
. Следовательно, точка N
лежит и на биссектрисе внешнего угла при вершине K
(см. задачу 1192), т. е. на биссектрисе угла AKC
(N
— центр вневписанной окружности треугольника KBP
). Таким образом, точки K
, M
и N
лежат на прямой, содержащей биссектрису угла AKC
.