1069. Внутри равнобедренного треугольника ABC
с основанием AC
находится точка D
. При этом \angle ACD=30^{\circ}
и \angle DAC+\angle BAC=60^{\circ}
. Докажите, что \angle DBC=\angle DAC
.
Указание. Поместите треугольник ABC
внутрь равностороннего треугольника AEC
. Тогда треугольники ABE
, ADC
и CBE
равны и BD\parallel CE
.
Решение. Заметим, что \angle BAC\lt60^{\circ}
. Поместим треугольник ABC
внутрь равностороннего треугольника AEC
. Тогда \angle BAE=60^{\circ}-\angle BAC=\angle DAC
, поэтому треугольники ABE
, ADC
и CBE
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенств CD=BE
и \angle DCE=\angle BEC
следует, что BD\parallel CE
, значит, \angle DBC=\angle BCE=\angle DAC
. Что и требовалось доказать.