10692. На продолжениях сторон CA
и AB
треугольника ABC
за точки A
и B
соответственно отложены отрезки AE=BC
и BF=AC
. Окружность касается отрезка BF
в точке N
, стороны BC
и продолжения стороны AC
за точку C
. Точка M
— середина отрезка EF
. Докажите, что прямая MN
параллельна биссектрисе угла A
.
Решение. Пусть прямая, проходящая через точку E
и параллельная MN
, пересекает прямую AB
в точке X
. Тогда достаточно доказать, что треугольник XAE
равнобедренный.
Поскольку MN
— средняя линия треугольника EFX
, то XF=2NF
. Используя равенства
AE=BC,~BF=AC
и то, что длина отрезка AN
равна полупериметру треугольника ABC
(см. задачу 4805), получим, что
AX=AF-XF=AB+BF-2NF=
=AB+AC-2NF=AB+AC-2(AB+BF-AN)=
=AB+AC-2(AB+AC-AN)=2AN-AB-AC=BC=AE,
т. е. треугольник XAE
равнобедренный и биссектриса его внешнего угла A
параллельна основанию (см. задачу 1174).
Примечание. Также можно было продлить MN
до пересечения с прямой AC
и доказать равенство отрезков AN
и AY
, где Y
— точка пересечения. Это можно сделать, например, используя теорему Менелая для треугольника EAF
и прямой MN
(см. задачу 1622).