10695. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом C
провели биссектрисы AK
и BN
, на которые опустили перпендикуляры CD
и CE
из вершины прямого угла. Докажите, что длина отрезка DE
равна радиусу вписанной окружности.
Решение. Первый способ. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
(рис. 1), r
— её радиус. Заметим, что
\angle EID=\angle AIB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}
(см. задачу 4770), а CI=r\sqrt{2}
как диагональ квадрата со стороной r
. Кроме того, точки D
и E
лежат на окружности с диаметром CI
, поэтому по теореме синусов
DE=r\sqrt{2}\cdot\sin\angle EID=r\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=r.
Второй способ. Пусть прямые CE
и CD
пересекают гипотенузу AB
в точках X
и Y
соответственно (рис. 2). Тогда треугольник CBX
равнобедренный, поэтому CE=XE
. Аналогично, CD=YD
. Следовательно, DE
— средняя линия треугольника XCY
, значит, DE=\frac{1}{2}XY
. В свою очередь,
XY=BX+AY-AB=BC+AC-AB=2r
(см. задачу 217), откуда и следует утверждение задачи.
Примечание. Заметим, что AK
и BN
— серединные перпендикуляры к отрезкам CY
и CX
соответственно, поэтому точка I
их пересечения — центр описанной окружности треугольника XCY
.