10699. В окружность вписан равносторонний треугольник ABC
. Хорда AP
пересекает медиану BD
в точке K
, причём BK:KD=1:6
. Найдите отношение BP:PC
.
Ответ. 1:12
.
Решение. Пусть хорды AP
и BC
пересекаются в точке E
. Вписанные углы APB
и APC
опираются на равные дуги, значит, \angle APB=\angle APC
, т. е. PA
— биссектриса угла BPC
, а PE
— биссектриса треугольника BPC
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) BP:PC=BE:EC
.
Пусть прямая, проведённая через точку D
параллельно AP
, пересекает сторону BC
в точке F
. По теореме о пропорциональных отрезках (см. задачу 1059) EF=6BE
и EF=CF
, поэтому EC=12BE
. Следовательно,
BP:PC=BE:EC=BE:12BE=1:12.