10712. Окружность с центром I
, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон AB
, AC
и BC
в точках K
, L
и N
соответственно; AA_{1}
и BB_{1}
— биссектрисы треугольника ABC
, M
— точка пересечения прямых IK
и A_{1}B_{1}
, P
и Q
— проекции точки M
на радиусы IL
и IN
. Докажите, что IM+IP+IQ=IK
.
Указание. См. задачу 1630.
Решение. Пусть G
и H
— проекции точки M
на прямые AC
и BC
соответственно. Обозначим IK=IL=IN=r
, MK=x
, MG=y
, MH=z
.
По лемме биссектрального треугольника (см. задачу 1630) y+z=x
. Из прямоугольных трапеций IMGL
и IMHN
получаем, что IP=r-y
и IQ=r-z
, а так как IM=x-r
, то
IM+IP+IQ=(x-r)+(r-y)+(r-z)=r+(x-y-z)=r=IK.
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Лемма биссектрального треугольника», Квант, 2016, N2, с.36-38.