10717. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AA_{1}
и BB_{1}
. Известно, что центр O
описанной окружности треугольника лежит на отрезке A_{1}B_{1}
. Докажите, что расстояние от вершины C
до ортоцентра треугольника равно сумме радиусов вписанной и описанной окружностей.
Указание. См. задачи 1630 и 1257.
Решение. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
, A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— проекции точки O
на стороны BC
, AC
и AB
соответственно. Тогда эти точки — середины сторон. По лемме биссектрального треугольника (см. задачу 1630) OC_{2}=OA_{2}+OB_{2}
, а так как треугольник ABC
остроугольный (центр его описанной окружности лежит на отрезке A_{1}B_{1}
, а значит, внутри треугольника), то по формуле Карно (см. задачу 3257) OA_{2}+OB_{2}+OC_{2}=R+r
, где R
и r
— радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
. Следовательно, 2OC_{2}=R+r
. Осталось заметить, что CH=2OC_{2}
(см. задачу 1257).
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Лемма биссектрального треугольника», Квант, 2016, N2, с.36-38.