10737. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Лучи AB
и DC
пересекаются в точке M
, а лучи BC
и AD
— в точке N
. Известно, что S_{\triangle BMC}=S_{\triangle DNC}
. Докажите, что диагональ AC
делит диагональ BD
пополам.
Решение. Из равенства S_{\triangle BMC}=S_{\triangle DNC}
следует, что BD\parallel MN
(см. задачу 4190). Прямая AC
проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон MB
и ND
трапеции BMND
и точку пересечения диагоналей трапеции. Значит, прямая AC
проходит через середины оснований BD
и MN
этой трапеции (см. замечательное свойство трапеции, задача 1513).