10743. Биссектрисы углов A
и B
выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке M
, а биссектрисы углов C
и D
— в точке N
. Известно, что MN\perp AB
. Докажите, что углы A
и B
равны.
Решение. Из задачи 1286 следует, что если прямые AD
и BC
параллельны, то им параллельна прямая MN
, а так как MN\perp AB
, то углы A
и B
прямые (рис. 1). Значит, они равны.
Пусть прямые AD
и BC
пересекаются в точке P
. Рассмотрим случай, изображённые на рис. 2. Тогда N
— точка пересечения биссектрис треугольника CPD
, а M
— точка пересечения внешних углов при вершинах A
и B
треугольника APB
. Значит, точки N
и M
лежат на биссектрисе угла APB
(см. задачи 1140 и 1192). Поскольку MN\perp AB
, высота треугольника APB
, проведённая из вершины P
является биссектрисой, поэтому треугольник APB
равнобедренный, углы при его основании AB
равны. Следовательно, ровны и смежные им углы при вершинах A
и B
четырёхугольника ABCD
.