10744. Градусная мера каждого из углов выпуклого 19-угольника кратна 10^{\circ}
. Докажите, что в этом 19-угольнике есть пара параллельных сторон.
Решение. Через произвольную точку плоскости проведём 19 прямых, соответственно параллельных сторонам данного 19-угольника. Поскольку градусная мера каждого из его углов кратна 10^{\circ}
, сумма углов, образованных проведёнными прямыми равна 2\cdot10^{\circ}\cdot k
, где k
— натуральное число. Если градусные меры всех этих углов отличны от 0^{\circ}
, то сумма этих углов не меньше 20^{\circ}\cdot19=380^{\circ}\gt360^{\circ}
, что невозможно. Значит, среди них есть угол, равный 0^{\circ}
. Следовательно, среди проведённых прямых есть совпадающие. Тогда соответствующие им стороны данного 19-угольника параллельны.