10747. Дан ромб ABCD
. На отрезке BC
построен равносторонний треугольник BMC
, причём точка M
лежит внутри ромба (см. рис.), а биссектриса угла ABM
пересекает диагональ AC
в точке F
. Докажите, что точки F
, M
и D
лежат на одной прямой.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Треугольники AFB
и MFB
равны по двум сторонам (AB=BC=BM
, сторона BF
— общая) и углу между ними (BF
— биссектриса угла ABM
), поэтому
\angle BMF=\angle BAF=\angle BAC=\alpha,~\angle BCD=\angle BAD=2\alpha.
Поскольку CD=CB=CM
, треугольник DCM
равнобедренный, а так как
\angle DCM=\angle BCD-\angle BCM=2\alpha-60^{\circ},
то
\angle CMD=\angle CDM=\frac{180^{\circ}-(2\alpha-60^{\circ})}{2}=120^{\circ}-\alpha.
Значит,
\angle FMD=\angle FMB+\angle BMC+\angle CMD=\alpha+60^{\circ}+(120^{\circ}-\alpha)=180^{\circ}.
Следовательно, точки F
, M
и D
лежат на одной прямой.