10754. Вписанная окружность треугольника ABC
касается сторон AB
, BC
и AC
в точках M
, N
и K
соответственно. Прямая MN
пересекает прямую AC
в точке P
, при этом PC=AC
. В каком отношении точка K
делит сторону AC
?
Ответ. 2:1
.
Решение. Обозначим AB=c
, BC=a
, AC=b
, полупериметр треугольника ABC
— p
. Тогда (см. задачу 219)
BN=BM=p-b,~AK=AM=p-a,~CK=CN=p-c.
Применив теорему Менелая к треугольнику ABC
и прямой MN
(см. задачу 1622), получим, что
\frac{BM}{MA}\cdot\frac{AP}{PC}\cdot\frac{CN}{NB}=1,~\mbox{или}~\frac{p-b}{p-a}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{p-c}{p-b}=1,
откуда
\frac{AK}{KC}=\frac{p-a}{p-c}=2.