10757. Биссектриса угла A
тупоугольного треугольника ABC
параллельна прямой Эйлера этого треугольника. Докажите, что \angle A=120^{\circ}
.
Решение. Пусть H
— ортоцентр треугольника, O
— центр описанной окружности, R
— её радиус, M
— середина стороны BC
, L
— середина большей дуги BC
описанной окружности. Тогда AL
— биссектриса угла A
(см. задачу 430), а так как прямая Эйлера OH
параллельна AL
и AH\parallel OL
, то AHOL
— параллелограмм. Тогда AH=OL=R
, а так как OM=\frac{1}{2}AH
(см. задачу 1257), то OM=\frac{1}{2}R
. В прямоугольном треугольнике COM
катет OM=\frac{1}{2}R
вдвое меньше гипотенузы OC=R
, значит,
\angle OCM=30^{\circ},~\angle COM=60^{\circ}.
Тогда
\angle BOC=120^{\circ},~\angle BLC=60^{\circ},
следовательно,
\angle BAC=180^{\circ}-\angle BLC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.