10758. В треугольнике ABC
(AC\lt BC
) проведена медиана CD
. Известно, что \angle DCA+\angle DBC=90^{\circ}
. Докажите, что \angle ACB=90^{\circ}
.
Решение. Пусть серединный перпендикуляр к стороне AB
пересекает прямую BC
в точке C_{1}
. Поскольку AC\lt BC
, точка C_{1}
лежит на стороне BC
. Обозначим \angle DCA=\alpha
. Тогда
\angle DAC_{1}=\angle DBC_{1}=90^{\circ},
поэтому \angle AC_{1}D=\alpha
.
Из точек C
и C_{1}
, лежащих по одну сторону от прямой AD
, отрезок AD
виден под одним и тем же углом \alpha
, значит, точки A
, D
, C
и C_{1}
лежат на одной окружности. Поскольку \angle ADC_{1}=90^{\circ}
, отрезок AC_{1}
— диаметр этой окружности. Следовательно,
\angle ACB=\angle ACC_{1}=90^{\circ}.