10767. Докажите, что для всех трапеций с общей боковой стороной, вписанных в одну и ту же окружность, отношение высоты к средней линии постоянно.
Решение. Пусть AB
— общая боковая сторона всех трапеций ABCD
, вписанных в данную окружность, BH
— высота такой трапеции. Поскольку трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная, отрезок DH
равен полусумме её оснований BC
и AD
(см. задачу 1921), т. е. средней линии трапеции. У всех таких трапеций угол ADB
равен половине меньшей дуги AB
. Следовательно, отношение \frac{BH}{DH}=\tg\angle ADB
одно и то же для всех таких трапеций.