10768. Точка H
— ортоцентр треугольника ABC
, R
— радиус его описанной окружности. Докажите, что AH^{2}=4R^{2}-BC^{2}
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, M
— проекция точки O
на сторону BC
. Тогда OM=\frac{1}{2}AH
(см. задачу 1257). Из прямоугольного треугольника BMO
получаем, что
\left(\frac{1}{2}BC\right)^{2}=BM^{2}=OB^{2}-OM^{2}=R^{2}-\frac{1}{4}AH^{2}.
Следовательно,
AH^{2}=4\left(R^{2}-\frac{1}{4}BC^{2}\right)=4R^{2}-BC^{2}.