10776. В треугольнике ABC
проведена биссектриса AM
. Через точки A
и M
проведена окружность, пересекающая стороны AC
и AB
в точках K
и L
соответственно. Докажите, что если KL\parallel BC
, то прямая BC
— касательная к окружности.
Решение. Прямые KL
и BC
параллельны, а вписанные углы MKL
и MAL
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle BMK=\angle MLK=\angle MAL=\angle MAK.
Тогда по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), BM
— касательная к окружности.