10781. Высота ромба, проведённая из вершины тупого угла, делит его большую диагональ на отрезки длиной 3,5 и 12,5. Найдите меньшую диагональ ромба.
Ответ. 12.
Решение. Пусть высота AH
ромба ABCD
с центром O
, проведённая из вершины тупого угла B
, пересекает большую диагональ AC
в точке M
, причём AM=3{,}5
и CM=12{,}5
. Тогда
AC=16,~OC=OA=8,~OM=8-3{,}5=4{,}5.
Прямые BC
и AD
параллельны, а BH\perp AD
, значит, AH\perp BC
, поэтому треугольник CBM
прямоугольный, а BO
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Тогда (см. задачу 2728)
BO=\sqrt{OC\cdot OM}=\sqrt{8\cdot4{,}5}=\sqrt{36}=6.
Следовательно, BD=2BO=12
.