10786. Диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно a
.
Ответ. \frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Пусть ABCD
— равнобедренная трапеция с основаниями BC
и AD
, AC
— биссектриса угла BAD
, BD\perp CB
, AB=CD=a
.
Треугольник ABC
равнобедренный, так как
\angle BCA=\angle CAD=\angle BAC.
Значит, BC=AB=a
.
Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке P
. Треугольник APD
равнобедренный, PA=PD
, так как
\angle PAD=\angle BAD=\angle CDA=\angle PDA.
С другой стороны, PA=AD
, так как биссектриса AC
треугольника APD
является высотой. Значит, треугольник APD
равносторонний и треугольник BPC
также равносторонний. Тогда PC=BC=CD
, поэтому BC=a
— его средняя линия. Следовательно, AP=PD=AD=2a
, а
S_{ABCD}=\frac{3}{4}S_{\triangle APD}=\frac{3}{4}\cdot\frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}.